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国立 茨城大学 2015年 第2問座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$2$つの条件
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
を満たしながら動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3)$a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4)原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(*)$および
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \]
を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5)$(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
を満たしながら動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3)$a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4)原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(*)$および
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \]
を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5)$(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第2問円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を${180}^\circ$回転した点を$\mathrm{T}^\prime$とする．
(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．
(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とする．点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BC}$の中点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$を以下の$①$～$③$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
\mon[$①$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい
\mon[$②$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$
\mon[$③$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．
(1)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$を以下の$①$～$③$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
\mon[$①$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい
\mon[$②$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$
\mon[$③$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第1問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問下図の$\triangle \mathrm{ABC}$は，$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$で$\mathrm{AB}=1$の直角二等辺三角形である．この$\triangle \mathrm{ABC}$の中に下図のように長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$をおき，頂点$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{Q}_1$が線分$\mathrm{AB}$上に，頂点$\mathrm{P}_4$と$\mathrm{Q}_4$が線分$\mathrm{AC}$上にあるようにする．さらに，頂点$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_3$がともに線分$\mathrm{BC}$上に，頂点$\mathrm{Q}_2$と$\mathrm{Q}_3$がともに線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4$上にあるようにする．$x=\mathrm{BP}_2$，$y=\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)$x$の値を固定して$y$の値を変化させるとき，長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和の最大値を$S(x)$とおく．このとき，$S(x)$を，$x$を用いて表せ．
(3)$x$の値を変化させるとき，$(2)$で求めた$S(x)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)$x$の値を固定して$y$の値を変化させるとき，長方形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の面積と長方形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_4$の面積の和の最大値を$S(x)$とおく．このとき，$S(x)$を，$x$を用いて表せ．
(3)$x$の値を変化させるとき，$(2)$で求めた$S(x)$の最大値を求めよ．
国立 筑波大学 2015年 第2問半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．
(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．
(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．