座標平面上の放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}$を$C$とし，$a$を$2$より小さい実数とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$から$C$に引いた異なる$2$つの接線の接点を各々$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{p^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{q^2}{2}+\frac{5}{2} \right)$とする．ただし，$p<q$とする．

(1)$p$および$q$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\angle \mathrm{PAQ} \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$a=1$のとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の外接円の半径$R$を求めよ．

$a<b$とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{C}$とおく．$\angle \mathrm{ACB}={60}^\circ$であるとする．

(1)$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．
(2)ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,\ 2a)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,\ 2b)$と表されることを示せ．
(3)$\displaystyle a<-\frac{\sqrt{3}}{6},\ b>\frac{\sqrt{3}}{6}$を示せ．
(4)$b$を$a$を用いて表せ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と円$C:x^2+y^2=1$があり，$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$y$座標はともに正であり，$3$点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の順に並んでいるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とするとき，$S_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{POQ}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標と$S_1$を求めよ．

$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ -5,\ 1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$を満たす$s,\ t$を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{AB}=1$とする．点$\mathrm{A}^\prime$および点$\mathrm{B}^\prime$をそれぞれ$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AA}^\prime}=\frac{1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^\prime}=\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{BAA}^\prime$の$2$等分線と$\angle \mathrm{ABB}^\prime$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．