数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． \\
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．

(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

サイコロを$2$個，くり返し投げたとき，$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$は原点を出発して，次の規則で移動していく．

(i) $1$回投げるごとに，$x$軸方向に$+1$移動する．
(ii) 目の和が$10$以上のときは$y$軸方向に$+2$移動し，$9$以下のときは$y$軸方向に$-1$移動する．

このとき，次の確率を求めよ．

(1)$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に達する．
(2)$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(6,\ 5)$に達する．
(3)$7$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(7,\ 5)$に達する．

数直線上の原点に点Aがある．点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく．\\
『Aが座標$k$の位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，正の向きに2進む確率が$\displaystyle \frac{k}{k+1}$である．』\\
点Aが座標$n$の位置に立ち寄る確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_3$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．