$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]