自然数$N$は$30$の倍数である．
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし，集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す．次の問いに答えよ．

(1)$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ．
(2)$N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき，不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ．
(3)(2)の$P_N$について，$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ．

$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．

\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．


(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．

$2$次不等式$x^2-11x+28<0$を満たす実数$x$の集合を$A$，$x^2-(a+2)x+2a<0$を満たす実数$x$の集合を$B$とする．ここで，$a$は定数で，$a>2$とする．また，$\phi$を空集合，実数全体の集合$U$を全体集合とし，$A,\ B$の補集合を$\overline{A},\ \overline{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．

\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$

(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．

\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．