「複数個」について
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私立 東京電機大学 2016年 第2問袋の中に複数個の玉が入っていて，この袋から玉を$1$個取り出し，袋に戻さずに$2$個目の玉を取り出す試行を考える．次の各問に答えよ．
(1)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．取り出した玉が同じ色である確率を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉である確率を求めよ．
(3)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉であることが分かったとき，$1$個目の玉も赤玉である確率を求めよ．
(4)袋の中に全部で$9$個の玉が入っている．赤玉は$3$個，白玉は$w$個，残りはすべて青玉である．取り出した玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$のとき白玉の個数$w$を求めよ．
(1)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．取り出した玉が同じ色である確率を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉である確率を求めよ．
(3)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉であることが分かったとき，$1$個目の玉も赤玉である確率を求めよ．
(4)袋の中に全部で$9$個の玉が入っている．赤玉は$3$個，白玉は$w$個，残りはすべて青玉である．取り出した玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$のとき白玉の個数$w$を求めよ．
私立 東京薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．
(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第3問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．
放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．