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国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第3問二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
私立 神奈川大学 2013年 第2問$n$を$3$以上の自然数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$a_n$，外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．
\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．
(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．
\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．
公立 兵庫県立大学 2011年 第5問実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
\img{562_2720_2011_1}{15}
(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．
以下の問に答えなさい．
\img{562_2720_2011_1}{15}
(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．