$1$枚の硬貨を$7$回投げるとき，表が続いて出る回数の最大値を$X$とする．たとえば，裏表表表裏表表であれば，$X=3$である．

(1)$X=5$となる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$][$4$]}$である．

(2)$X=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[$5$]}{[$6$][$7$]}$である．

(3)$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[$8$][$9$]}{[$10$][$11$][$12$]}$である．

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．

\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．

たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．

(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．

\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．

たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．

(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．

表と裏のあるコイン14枚を一列に並べる．隣接する2枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は4個，裏裏は6個，表裏は2個，裏表は1個である．次の問いに答えよ．

(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．

数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．