「装置」について
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国立 京都大学 2016年 第2問ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
公立 愛知県立大学 2014年 第1問$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち，いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．各装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$で数字$n (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$，$P_{\mathrm{B}}(n)$，$P_{\mathrm{C}}(n)$とし，
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている．$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と，表示される数字の期待値を求めよ．
(2)$P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が，両方とも偶数である確率を求めよ．
(3)$P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり，$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする．このとき，$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ．
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている．$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と，表示される数字の期待値を求めよ．
(2)$P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が，両方とも偶数である確率を求めよ．
(3)$P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり，$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする．このとき，$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ．
国立 横浜国立大学 2013年 第3問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
国立 横浜国立大学 2013年 第4問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
私立 神戸薬科大学 2010年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．
公立 兵庫県立大学 2010年 第4問図は各頂点および各辺が点灯する装置を表している．この装置ではスイッチを入れると，$4$つの頂点はそれぞれ独立に$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で，赤，黄，緑のいずれかの色で点灯する．また，各辺は，その両端の$2$つの頂点の色が一致していれば，これら$2$つの頂点と同じ色で点灯し，そうでない場合は青く点灯する．以下の問に答えなさい．
（図は省略）
(1)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3)スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．
（図は省略）
(1)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3)スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．