「表面積」について
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国立 愛媛大学 2013年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，次の条件$①,\ ②,\ ③,\ ④$を満たすとする．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
私立 安田女子大学 2013年 第3問次の図のように，底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$，高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と，底面を共有し，円錐に内接する円柱がある．このとき，次の問いに答えよ．なお，円周率は$\pi$とする．
（図は省略）
(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．
(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．
公立 釧路公立大学 2013年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(1)ある大学の売店では年会費を$5,000$円払えば会員となり，品物を$5 \, \%$引きで買うことができる．$1$個$380$円の品物を買うとき，何個以上買うと，会員になった方が，会員にならないよりも合計金額が安くなるか答えよ．
(2)$2$次関数$y=3x^2+6nx+12n$がある．
(i) この$2$次関数の最小値$m$を，$n$の関数で表せ．
(ii) $n$の値を変化させて，$(1)$における最小値$m$が最も大きくなるときの$n$の値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(3)底面の半径が$6$，高さが$8$の円錐に内接する球$\mathrm{Q}$の表面積と体積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
国立 京都教育大学 2012年 第1問$1$辺の長さが$a$の正八面体について，次の問に答えよ．
(1)表面積$S$を求めよ．
(2)体積$V$を求めよ．
(3)この正八面体に内接する球の半径$r$を求めよ．
(1)表面積$S$を求めよ．
(2)体積$V$を求めよ．
(3)この正八面体に内接する球の半径$r$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
私立 安田女子大学 2012年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2012年 第3問$3$辺の長さが$10,\ 15,\ 15$の二等辺三角形$6$個を側面とし，$1$辺の長さが$10$の正六角形を底面とする正六角錐について，次の問いに答えよ．
(1)表面積と体積を求めよ．
(2)底面と全ての側面に接する球$\mathrm{P}$の半径を求めよ．
(3)球$\mathrm{P}$と全ての側面に接する球$\mathrm{Q}$の半径を求めよ．
(1)表面積と体積を求めよ．
(2)底面と全ての側面に接する球$\mathrm{P}$の半径を求めよ．
(3)球$\mathrm{P}$と全ての側面に接する球$\mathrm{Q}$の半径を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第3問四角錐$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さ$2$の正方形で，
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．
(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．
(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．