正方形$\mathrm{ABCD}$を底面，点$\mathrm{P}$を頂点とする正四角錐$\mathrm{PABCD}$に内接する球について考える．ただし，正四角錐とは，頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$および線分$\mathrm{PM}$の長さをそれぞれ$a,\ b$とする．次の問に答えよ．

(1)内接する球の半径を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{b}{a}$と定めるとき，$\displaystyle \frac{\text{内接する球の表面積}}{\text{正四角錐$\mathrm{PABCD}$の表面積}}$を$x$で表わし，その最大値を求めよ．
(3)$(2)$で最大値をとるときの正四角錐$\mathrm{PABCD}$の体積を$a$を用いて表せ．

半径が$1$の円を底面とし，高さが$4$の直円錐に内接する直円柱を考える．この直円柱の表面積が最大となるときの底面の半径$x$の値と，その際の直円柱の体積$V$の値を求めよ．ただし円周率は$\pi$とする．
（図は省略）

$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．

半径$1$の球が直円錐に内接している．この直円錐の底面の半径を$r$とし，表面積を$S$とする．

(1)$S$を$r$を用いて表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．

直円柱に対して，底面の半径を$x$，高さを$h$，表面積（側面積と$2$つの底面積の合計）を$S$，体積を$V$で表すことにする．ただし，$x>0$，$h>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ．
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ．また，$V$を$x$と$S$を用いて表せ．
(3)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ．
(4)$S$が一定のもとで，$V$が最大になるときの$x$と$h$の比，すなわち$x:h$を求めよ．

図のような，底面の半径が$r$，高さが$h$の円錐があり，そこに半径$5$の球が内接しているとする．ただし，$h>10$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)この円錐の底面の半径$r$を$h$を用いて表せ．
(2)この円錐の表面積を最小にする$h$の値を求めよ．

底面が半径$1$の円である円錐$S$と，$S$と相似であるが半径が不明な円錐$L$がある．

(1)$S$と$L$の表面積の比が$1:12$のとき$L$の底面の半径を求めると$[チ]$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$L$の高さが$6$のとき，$L$に側面と底面で内接する球の半径を求めると$[ツ]$であり，その球の体積を求めると$[テ]$となる．

次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）

次の空欄$[$19$]$～$[$42$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$19$]$，$[$21$]$には$+$または$-$の記号が入る．

(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．

(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，

点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．

(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．

(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．

(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．

(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．