$n$を$4$以上の自然数とする．数$2,\ 12,\ 1331$がすべて$n$進法で表記されているとして，
\[ 2^{12}=1331 \]
が成り立っている．このとき$n$はいくつか．十進法で答えよ．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$1$桁の数として，$3$桁の数を$abc$と表記するとき，$7$進法で表すと$3$桁の数$abc_{(7)}$になり，$5$進法で表すと$3$桁の数$bca_{(5)}$になる数を$10$進法で表すと$[$18$][$19$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{123}{343}$を$7$進法の小数で表すと$[$20$]. [$21$][$22$][$23$]_{(7)}$である．

コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2)$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3)$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

曲線$y=x^3+6x^2+6x-2$において，傾きが$6$となる接線は$2$つ存在する．$2$つの接線を$y=6x+a$，$y=6x+b$と表記するとき，$\displaystyle \frac{a+b}{4}$の値を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3+3x^2$，$C_2:g(x)=x^3+3x^2+c$（$c>0$，$c$は実数定数）について考える．点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C_1$の接線と点$\mathrm{Q}(q,\ g(q))$における$C_2$の接線が一致するとき（$p \neq q$），$c=-A(p+1)^3$と表記される．$A$の値を求めよ．

円周を$12$等分し，各点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$と表記する．$3$つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率を$p$とする．$55p$の値を求めよ．ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が$1$つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする．