大中小3枚のコインがある．サイコロを投げて次の規則でコインの表裏を反転させる試行を繰り返す．

\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転

3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．

(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．