硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す．硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点，$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった．なお，硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする．

(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれある地域の東公園，西公園および北公園のいずれかに行こうとしている．この$3$人は次のように，硬貨の表裏によって，どの公園に行くのかを決める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら東公園に行く．裏が出たら西公園に行く．
$\mathrm{B}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら西公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら北公園に行く．
$\mathrm{C}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら北公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら西公園に行く．
\end{itemize}
ただし，$3$人が使用する硬貨は，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(2)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(3)$3$人が同じ公園に行く確率を求めよ．
(4)少なくとも$2$人が同じ公園に行く確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれある地域の東公園，西公園および北公園のいずれかに行こうとしている．この$3$人は次のように，硬貨の表裏によって，どの公園に行くのかを決める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら東公園に行く．裏が出たら西公園に行く．
$\mathrm{B}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら西公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら北公園に行く．
$\mathrm{C}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら北公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら西公園に行く．
\end{itemize}
ただし，$3$人が使用する硬貨は，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(2)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(3)$3$人が同じ公園に行く確率を求めよ．
(4)少なくとも$2$人が同じ公園に行く確率を求めよ．

$1$枚の硬貨を$7$回投げるとき，表が続いて出る回数の最大値を$X$とする．たとえば，裏表表表裏表表であれば，$X=3$である．

(1)$X=5$となる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$][$4$]}$である．

(2)$X=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[$5$]}{[$6$][$7$]}$である．

(3)$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[$8$][$9$]}{[$10$][$11$][$12$]}$である．

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．

\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．

たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．

(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．

\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．

たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．

(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がいる．投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり，最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている．次の操作を繰り返す．

(i) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{A}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す．
(ii) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え，コインは$\mathrm{B}$がそのまま
持つ．裏が出れば，両者に点を与えず，$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す．

そして$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で，$2$点を獲得した方の勝利とする．たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点では$\mathrm{A}$は$1$点，$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる． \\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ．

最初，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$を置き，コインを$1$回投げるごとに以下のように点$\mathrm{P}$の位置を定める．

\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．

コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

表と裏のあるコイン14枚を一列に並べる．隣接する2枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は4個，裏裏は6個，表裏は2個，裏表は1個である．次の問いに答えよ．

(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．