座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある．このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり，$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，$k$は$k>6$を満たす自然数とする．

ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，$1$回目に$4$の数字，$2$回目に$5$の数字が表示される確率は，$1$回目に$5$の数字，$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である．このとき，

(1)$Q$は$[$59$]$であり，$k$は$[$60$]$である．
(2)この試行を$3$回繰り返すとき，表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は
\[ \frac{[$61$][$62$][$63$]}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \]
である．
(3)この試行を$500$回繰り返すとき，そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと，$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$[$68$][$69$]$である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$t=\cos \theta$とおいて，$x$と$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(3)曲線$C$の概形を描け．

実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする．$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し，$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく．

(1)$f^\prime(\theta)=0$であるとき，$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ．
(2)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．
(4)$t$を$(3)$で求めた値とする．このとき，$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ．

$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち，いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．各装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$で数字$n (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$，$P_{\mathrm{B}}(n)$，$P_{\mathrm{C}}(n)$とし，
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている．$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と，表示される数字の期待値を求めよ．
(2)$P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が，両方とも偶数である確率を求めよ．
(3)$P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり，$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする．このとき，$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ．

1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．

\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．

さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．