実数$x,\ y,\ t$に対して，行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
-t-x & -x
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rr}
5 & 4 \\
-6 & -5
\end{array} \right) \]
を考える．$(AB)^2$が対角行列，すなわち$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列であるとする．

(1)命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする．ただし，$E$は単位行列を表す．
(2)$3x-3y-2t=0$を示せ．
(3)$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(4)$x,\ y,\ t$が整数のとき，行列$A$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & -6 \\
1 & -1
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が条件$AB=BA,\ c \neq 0$を満たしている．$C=A-B$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$b,\ d$を$a,\ c$で表せ．
(2)$B^2=B$を満たす$B$をすべて求めよ．
(3)(2)で求めた$B$のそれぞれについて，$C^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．
(4)$A^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2a & -a^2 \\
1 & 0
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$AP$を求めよ．
(2)$B=P^{-1}AP$を求めよ．
(3)$B^n$を求めよ．
(4)$A^n$を求めよ．

2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

$\theta$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して$A^k=\left( \begin{array}{rr}
\cos k\theta & \sin k\theta \\
-\sin k\theta & \cos k\theta
\end{array} \right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．
(2)$n$は2以上の自然数とし，$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(3)(2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{7}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{7}{2}
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y,\ u,\ v$が，$xA+yE=uA+vE$を満たすならば，$x=u,\ y=v$であることを示せ．
(2)$A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，実数$c_n,\ d_n$が
\[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \]
を満たしているとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ．

実数$a,\ b$は$ab+\sqrt{(2-a^2)(2-b^2)}=0$を満たす．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
\sqrt{2-a^2} & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) ,\quad B=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{2-a^2} \\
b & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) \]
とする．

(1)$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$2 \times 1$行列$X=\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$に対して，$|X|=\sqrt{s^2+t^2}$と定める．$P=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して，$|BP|=\sqrt{2} |P|$が成り立つことを示せ．
(3)$AB$を求めよ．
(4)$E$を$2$次の単位行列とする．$5(A^{-1}+B^{-1})=E$が成り立つとき，$A$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$を自然数とする．また，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす．$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．