行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$n$を正の整数，$A^1=A$とする．

(1)等式$A(A-E)=A-E$が成り立つことを示せ．
(2)$A^{n+1}-A^n$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right)$で表される移動によって点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime$に移るとする．$\mathrm{O}$を原点とする．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{A}=\mathrm{A}^\prime$であって，かつ四角形$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{B}$が長方形のとき，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

$E$を$2$次の単位行列，$O$を$2$次の零行列とする．正の実数$a$に対して，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -a \\
a & 1
\end{array} \right)$が
\[ A^2-2A+4E=O \]
をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^8$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=A$を満たす．行列$B$は
\[ B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right),\quad B^2 \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$a+d,\ ad-bc$を求めよ．
(2)$B$を$a$を用いて表せ．
(3)$c=1$のとき，実数$s,\ t$に対して
\[ (sA+tB)^n=x_nA+y_nB \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表されることを示し，$x_n,\ y_n$を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．

座標平面上で，直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし，実数$c$に対して，直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする．また，原点を中心とする$120^\circ$の回転移動を$h$とする．

(1)$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．
(2)$g$を表す行列を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し，その値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)正の整数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とするとき，
\[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \]
が成り立つことを示せ．
(3)$109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし，行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．
(2)$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．
(3)$1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

$a$を実数とし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -4 \\
-\displaystyle\frac{3a}{4} & 2
\end{array} \right)$は$A^3=-a^2E$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2011}+A^{2012}+A^{2013}$を求めよ．