以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right)$の$n$乗を$A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & 0 \\
b_n & c_n
\end{array} \right)$とおく．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$a_2=[ア]$，$b_2=[イ]$，$c_2=[ウ]$である．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[エ]$，$b_{n+1}=[オ]$，$c_{n+1}=[カ]$である．
(3)$c_n$を$n$の式で表すと$[キ]$である．
(4)$b_n$を$n$の式で表すと$[ク]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n+c_n}=[ケ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
-b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって，点$(3,\ 1)$が点$(7,\ -5)$に移され，点$(p,\ q)$が点$(4,\ 1)$に移される．$a$と$b$の値を求めると$(a,\ b)=[ア]$であり，$p$と$q$の値を求めると$(p,\ q)=[イ]$である．
(2)$3$辺の長さがそれぞれ$\displaystyle 1,\ x,\ 2-x \left( \frac{1}{2}<x<\frac{3}{2} \right)$の三角形がある．この三角形の面積$S$を$x$で表すと$S=[ウ]$であり，$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{2}}{4}$となる$x$の値の範囲を求めると$[エ]$である．
(3)$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，

$a_n=2n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=2, (n+1)b_{n+1}=a_{n+1}+nb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たす．$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めると，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=[オ]$である．$\{b_n\}$の一般項を求めると，$b_n=[カ]$である．
(4)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y=1-2 \sin \theta-\cos 2\theta$の最大値を求めると，$y=[キ]$であり，$z=\sin^2 \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+2 \cos^2 \theta$の最大値を求めると，$z=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$以下である確率は$[ケ]$であり，出た目の和が奇数であるか$5$以上である確率は$[コ]$である．

行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & 10 \\
-3 & -4
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 5 \\
1 & -3
\end{array} \right)$のとき，$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
[ス] & 0 \\
0 & [セ]
\end{array} \right)$である．
(2)$A^n=\left( \begin{array}{cc}
[ソ] \cdot 2^n+[タ] & [チ] \cdot 2^n+[ツ] \\
[テ] \cdot 2^n+[ト] & [ナ] \cdot 2^n+[ニ]
\end{array} \right)$である．

次の各問に答えよ．

(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{3} & 7 \\
0 & 3
\end{array} \right)$に対し，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
5
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$b_{n+1}=b_1a_n+d_1b_n,\ b_{n+1}=a_1b_n+b_1d_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{\sqrt{{p_n}^2+{q_n}^2}}$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とする．また，行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．以下の設問の$[　]$に適切な数値を答えなさい．

(1)$a=3$かつ$A^2=\left( \begin{array}{cc}
11 & 10 \\
5 & 6
\end{array} \right)$のとき，$b=[$1$]$，$c=[$2$]$，$d=[$3$]$である．このとき，$A^2$を$A$と$E$を用いて表すと，
\[ A^2=[$4$]A+[$5$]E \]
と表すことができる．また，
\[ A^5=[$6$]A+[$7$]E=\left( \begin{array}{cc}
[$8$] & [$9$] \\
[$10$] & [$11$]
\end{array} \right) \]
である．
(2)$A$が$A^2=3A-2E$を満たすとき，$a+d$の値は$[$12$]$，または$[$13$]$，または$[$14$]$である．

行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．

(1)$\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]} \left( \begin{array}{cc}
[エ] & [オ] \\
[オ] & [エ]
\end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[カ]}{[キクケ]},\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]} \right)$である．
(2)$E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=[サ]$かつ$\theta=[シ]$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \]
また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & 1-r \cos \theta
\end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ] & -r \sin \theta+r^n [ソ]-r^{n+1} [タ] \\
r \sin \theta-r^n [ソ]+r^{n+1} [タ] & 1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ]
\end{array} \right) \]
である．ただし，$[ス]$，$[セ]$，$[ソ]$，$[タ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \]
$0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると，
\[ \mathrm{Q}=\left( \frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\ \frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2} \right) \]
である．

$1$次変換$f$は点$(1,\ 3)$を点$(3,\ 5)$へ，点$(1,\ -1)$を点$(1,\ -1)$へ移すとする．$f$を表す行列を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式
\[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \]
が成り立つことを示せ．
(2)行列$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3}+1 \\
\sqrt{3}-1 & 2
\end{array} \right)$と自然数$n$に対して，
\[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \]
を満たす実数$b_n$を求めよ．