$\alpha \neq 0$，$\beta \neq 0$として，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
と定める．ただし，$a_1$，$b_1$，$\alpha$，$\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$（$a_n,\ b_n$は実数）の形で表されることを示せ．
(2)$(1)$における$a_n,\ b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$について，行列$P$を用いて
\[ \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \]
と表すとき，行列$P$を求めよ．
(3)$a_1=0$，$b_1=2$，$\alpha=\sqrt{3}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき，$f_{99}(x)$を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 3 \\
a & b
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array} \right)$が
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
10 & 5 \\
5 & 0
\end{array} \right) \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)$m,\ n$は実数で，$m \neq 0$，$n \neq 0$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$，$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり，行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$，$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$とする．$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$，$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき，$n$を$m$の式で表せ．
(3)$2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$，$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする．行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$とし，$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする．原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり，かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする．このような$r$の値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$において，円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし，円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする．このような$L,\ L^\prime$の中で，$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
a
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
1 \\
a
\end{array} \right)$を満たす実数$a,\ k$の値を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & p \\
q & 0
\end{array} \right)$が$AP=P \left( \begin{array}{cc}
r & 1 \\
0 & r
\end{array} \right)$を満たすとき，実数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，行列$B=\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 1 \\
0 & \alpha
\end{array} \right)$の$n$個の積$B^n$が
\[ B^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha^n & n \alpha^{n-1} \\
0 & \alpha^n
\end{array} \right) \]
となることを証明せよ．ただし，$\alpha$は$0$と異なる実数とする．
(4)自然数$n$に対して，$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ．
(5)自然数$n$に対して，実数$x_n,\ y_n$を$A^n=x_nA+y_nE$を満たすように定めるとき，$x_n,\ y_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$について，$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい．
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

行列$A,\ B$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 9
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
y & z
\end{array} \right) \]
とする．ただし，$x,\ y,\ z$は実数である．

(1)$AB=BA$であるとき，$z=x+[サ]y$である．

(2)$B$が$A$の逆行列ならば，$\displaystyle x=\frac{[シ]}{[ス]}$，$\displaystyle y=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．