「行列」について
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私立 獨協医科大学 2010年 第5問座標平面上の点の移動について考える．
(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[ ]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[ ] & 0 \\
0 & [ ]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．
(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[ ]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[ ] & 0 \\
0 & [ ]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2010年 第2問$p \neq 0$として，$xy$座標平面上の直線$\ell$を$\ell:y=mx+p$，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．
(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．
(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．
私立 東京女子大学 2010年 第8問$a,\ b$は実数とする．$2$次正方行列 $A$があって，
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．
(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．
(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
公立 首都大学東京 2010年 第1問行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right)$に対して，以下の問いに答えなさい．
(1)行列$P = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}
\right)$に対して，$P^{-1}AP$を求めなさい．
(2)$a$を実数とし，$T = \left(
\begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array}
\right)$としたとき，任意の自然数$n$に対して，行列$T^n$を求め，その理由も述べなさい．
(3)任意の自然数$n$に対して，行列$A^n$を求めなさい．
\begin{array}{cc}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right)$に対して，以下の問いに答えなさい．
(1)行列$P = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}
\right)$に対して，$P^{-1}AP$を求めなさい．
(2)$a$を実数とし，$T = \left(
\begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array}
\right)$としたとき，任意の自然数$n$に対して，行列$T^n$を求め，その理由も述べなさい．
(3)任意の自然数$n$に対して，行列$A^n$を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第2問$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第4問2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第1問ある自然数$k \geqq 3$に対して行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \ $（ただし$b \neq 0$）が，$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a,\ b,\ p$で表せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \ $（ただし$b \neq 0$）が，$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a,\ b,\ p$で表せ．