$\alpha>1$とする．$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする．$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき，$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし，点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする．このとき，点Rは直線$\ell_t$上にあり，曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ．

2次の正方行列$A,\ B$に対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．

(1)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，和$A+B$も逆行列を持つ．
(2)行列の和$A+B$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
(3)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，積$ABA$も逆行列を持つ．
(4)行列の積$ABA$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．

実数$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\cos 2\theta & \sin 2\theta \\
-\sin 2\theta & \cos 2\theta
\end{array} \right) \]
とする．また，実数$k \ (k>0)$に対して，$x,\ y$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
0 \\
k
\end{array} \right) \]
を満たす．そして，$x,\ y,\ k$を用いて座標平面上の2点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(0,\ k)$を定める．原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k,\ \tan \theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V(\theta)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$V(\theta)$について，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{\theta}{2\pi}V(\theta)$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right)$と点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{X}_0(1,\ 0)$がある．行列$A$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_1$へ移り，行列$A^2$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_2$へ移るものとする．以下同様に正の整数$n$について，行列$A^n$で表される移動によって点$\mathrm{X}_0$は点$\mathrm{X}_n$へ移るものとする．

(1)行列$A$は，$\alpha>0$と$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を使って$A=\alpha \left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と変形できる．$\alpha$と$\theta$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1$の面積$S_1$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OX}_0 \mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$の面積$S_2$を求めよ．
(4)$1 \leqq n<12$とする．線分$\mathrm{OX}_0$，$\mathrm{X}_0 \mathrm{X}_1$，$\cdots$，$\mathrm{X}_{n-1} \mathrm{X}_n$，$\mathrm{X}_n \mathrm{O}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を使って表せ．

座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．

行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を考える．

(1)$AB,\ BA,\ A^2,\ B^2$をそれぞれ計算しなさい．
(2)$A^{1639}B^{2011}$を求めなさい．
(3)$(AB)^{370}$を求めなさい．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-4 & 3
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$A^2,\ A^3$を計算せよ．
(2)自然数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)自然数$n$について$A^n$の逆行列を求めよ．

行列$P$で表される$1$次変換によって平面上の点$(-2,\ 1)$と点$(1,\ 1)$が，それぞれ点$(-1,\ 3)$，点$(2,\ 6)$に移る．

(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．