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国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第2問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
国立 新潟大学 2010年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
国立 福井大学 2010年 第4問$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]
(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に対して$\Delta=ad-bc$とおく．このとき，行列
\[ S=\biggl( \begin{array}{cc}
s-2 & 4-s \\
4-s & 2-s
\end{array} \biggr),\quad T=\biggl( \begin{array}{cc}
1-t & t^2-1 \\
t+1 & t-1
\end{array} \biggr) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$S$が$\Delta=-2$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $S$を求めよ．
\mon[(ii)] $S^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $S+S^2+\cdots +S^{2n-1}+S^{2n}$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(2)$S$が$\Delta=0$を満たすとき，次の(i)，(ii)，(iii)に答えよ．
\mon[(i)] $T$を求めよ．
\mon[(ii)] $T^2$を求めよ．
\mon[(iii)] $(E+T)^n$を求めよ．ただし，$E$は2次の単位行列とし，$n$は自然数とする．
国立 大阪教育大学 2010年 第3問座標平面上で，行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \]
を満たすことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \]
を満たすことを示せ．
(3)$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$とするとき，
\[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \]
となることを示せ．
(4)点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \]
を満たすことを示せ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$は，
\[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \]
を満たすことを示せ．
(3)$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$とするとき，
\[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \]
となることを示せ．
(4)点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．
国立 東京農工大学 2010年 第2問$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．
国立 長岡技術科学大学 2010年 第2問関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．
国立 鹿児島大学 2010年 第5問2次の正方行列$A,\ B$について，次の各問いに答えよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．