行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ．$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$，$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく．

(1)$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を1つずつ記せ．

$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

行列$A$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(x+y,\ x-y)$に移る．行列$B$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(2x+y+ax,\ x+2y-ay)$に移る．行列$X$が$AX=B$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．

$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．

(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．

行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
6 & -1
\end{array} \biggr)$の表す点の移動を$f$とし，$\ell$を直線$y=2x-1$とする．また，$f$による$\ell$上の点の像はすべて$\ell$上にあり，$\ell$上のある点Pは$f$によってP自身に移されるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)Pの座標を求めよ．
(3)次の条件\maru{1}，\maru{2}，\maru{3}をすべてみたす直線$m$の方程式を求めよ．

\mon[\maru{1}] $m$はPを通る．
\mon[\maru{2}] $f$による$m$上の点の像はすべて$m$上にある．
\mon[\maru{3}] $m$は$\ell$と異なる．

座標平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
-1 & -a
\end{array} \right)$が表す移動によって，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$に，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{R}$に移される．原点以外の点$\mathrm{P}$に対して，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が常に$\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}$をみたす二等辺三角形をつくるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．

原点のまわりの角$\alpha$の回転移動$f$を表す行列を$F$とおき，$0^\circ \leqq \beta <90^\circ$として，直線$y=(\tan \beta)x$に関する対称移動$g$を表す行列を$G$とおく．また，合成移動$g \circ f$を表す行列を$H$とおく．

(1)$H$を求めよ．
(2)$\alpha=\alpha_1$のときの$H$を$H_1$，$\alpha=\alpha_2$のときの$H$を$H_2$とするとき，行列の積$H_2H_1$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$のときの$(FG)^n$を求めよ．

$n$を自然数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の$n$個の積を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \]
とする．$ad-bc=3$のとき，次の問いに答えよ．ただし，$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c,\ d_1=d$である．

(1)$a_nd_n-b_nc_n=3^n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$a+d=1$のとき，$a_3+d_3$を求めよ．
(3)$a+d=0$のとき，$a_n+d_n$を求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．

(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．