$J=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を行列$J$と定めるとき，行列$J^{2011}$を求めなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 1
\end{array} \right)$について$C=AB$と定め，行列$C$の表す$1$次変換（移動）を$f$とする．ただし，$B \neq E$（単位行列），$a$は実数とする．

(1)行列の積$C=AB$を計算せよ．
(2)$1$次変換$f$によって，点$(0,\ 1)$を通る直線$\ell$上のすべての点がすべてその直線$\ell$上に移るとき，$a$の値と直線$\ell$の方程式を求めよ．

行列$A$と$E$を
\setstretch{2}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{2}{3} & -\displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とする．以下の問いに答えよ．

(1)行列$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2)零ベクトルでないベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
とおくとき，
\[ \sqrt{X^2+Y^2}=r \sqrt{x^2+y^2} \]
をみたす$r$を求めよ．
(3)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$が与えられたとき，ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)$を次のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n$を求めよ．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

実数を成分とする行列$A =\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$が$A^2 -A+E = O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$A$は逆行列をもつことを示せ．
(2)$a+d$と$ad-bc$を求めよ．
(3)$b>0,\ A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)$のとき，$A$を求めよ．

$xy$平面において，原点を中心としP$(1,\ 0)$を頂点の1つとする正6角形を$X$とする．$A$を2次の正方行列とし，$X$の各頂点$(x,\ y)$に対して，行列$A$の表す移動
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
で得られる点$(x^\prime,\ y^\prime)$は$X$の辺上の点(頂点を含む)であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pが行列$A$の表す移動でP自身に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．
(2)点Pが行列$A$の表す移動で$X$のある頂点に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して
\[ X \left( \begin{array}{cc}
a_n & a_{n+1} \\
a_{n+1} & a_{n+2}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_{n+2} \\
a_{n+2} & a_{n+3}
\end{array} \right) \]
が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2)自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．

(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．

行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す1次変換$f$は，点$(1,\ 1)$を点$(2,\ 3)$に，点$(2,\ -1)$を点$(2k,\ -k-1)$に移すとする．また，原点をOとし，点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を$f$で移した点をそれぞれP，Qとする．

(1)$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle$POQが直角となる$k$を求めよ．
(3)$\text{OP}=\text{OQ}$となる$k$を求めよ．