$a,\ b$を実数の定数とし，$3$つの行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
3 & -2 \\
a & 1
\end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
5 & -4 \\
6 & -5
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
は$AR=QA$を満たしている．次の$[　]$をうめよ．

$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=[$①$]$のときであり，このとき，$b=[$②$]$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=[$③$]$のときであり，このとき，$A^{-1}=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \]
とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて
\[ S_n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & 0 \\
0 & y_n
\end{array} \right) A \]
と表される．
$a=[$③$]$のときは，$x_n=[$⑥$]$，$y_n=[$④chi$]$である．したがって，$E$を単位行列として，
\[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=[$\maruhachi$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$，線分$\mathrm{BN}$と$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　]$となる．さらに，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{AP}=4$のとき，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[　]$である．
(2)点$(2,\ -3)$を点$(1,\ -1)$に移し，点$(-1,\ 4)$を点$(7,\ -2)$に移す$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めると，$A=[　]$である．また，原点を中心として一定の角だけ回転する回転移動$g$が点$(3,\ 3)$を点$(1+2 \sqrt{2},\ 1-2 \sqrt{2})$に移すとき，$g$を表す行列$B$を求めると，$B=[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$a_7,\ a_8$の値を求めると，$(a_7,\ a_8)=[　]$である．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^k}$の値は$[　]$である．

$a,\ b,\ c$を正の実数とし，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & c
\end{array} \right)$とする．以下の$[$1$]$から$[$9$]$に答えなさい．

(1)$P^2=\left( \begin{array}{cc}
10 & 9 \\
6 & 7
\end{array} \right)$であるならば，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$，$c=[$3$]$であり，このとき，$P^{-1}=[$4$]$である．

(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 3 \\
-1 & 7
\end{array} \right)$とする．上問$(1)$で求めた$a,\ b,\ c$の値を用いると，$P^{-1}AP=[$5$]$である．行列$A$の表す$1$次変換$f$により点$\mathrm{S}_n(x_n,\ y_n)$が点$\mathrm{S}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に移されるものとすると，
\[ x_n=3 \times 2^{n-2} \left\{ ([$6$])x_1+([$7$])y_1 \right\}, y_n=2^{n-2} \left\{ ([$8$])x_1+([$9$])y_1 \right\} \]
である．

$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする．点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき，行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=[ト]X$上を動く．

次に，行列$G=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする．点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき，その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$が定まる．このとき，列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが，いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のとき最小となる．ただし，$[ニ]$，$[ネ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2)$n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \]
で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$\ell$とし，原点Oを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．2次正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．$f$により，直線$\ell$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．

\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$とし，また，行列$B$を
\[ B=A+t \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \biggr) \]
とする．ただし，$t$は0でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．
(2)$B \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
1
\end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．
(3)$n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n \biggl( \begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(4)自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ．

点P$(2,\ 1)$を点P自身に移し，点Q$(1,\ 2)$を点Q$_1(2,\ 4)$に移す1次変換$f$を表す行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$n$を自然数とする．

(1)$A$を求めよ．
(2)$f$により点Rが点$(4,\ 5)$に移されるとき，点Rの座標を求めよ．
(3)$A^n$で表される1次変換により点Qが移される点をQ$_n$とする．点Q$_n$の座標を求めよ．
(4)$A^n$を求めよ．