実数$\theta$に対して，行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とする．また，$n$を自然数とし，$A$の$n$乗を$A^n$で表す．次に答えよ．

(1)数学的帰納法により，すべての自然数$n$に対して
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\theta & -\sin n\theta \\
\sin n\theta & \cos n\theta
\end{array} \right) \]
が成立することを示せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$とする．ある自然数$n$に対しては，行列$A^n$によって曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{2x}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される．このような自然数$n$の最小値を求めよ．

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
4 & 1
\end{array} \right)$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$，$\displaystyle p_n=\frac{a_n}{c_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．

(1)数学的帰納法を用いて，$a_n=d_n$および$b_n=c_n$が成り立つことを示せ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle q_n=\frac{1}{p_n-1}$とおくとき，$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．
(4)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

座標平面上の直線$\ell$を$y=2x$，直線$m$を$\displaystyle y=-\frac{x}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点P$(x,\ y)$に対し，Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする．また，Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする．このとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
x^{\prime\prime} \\
y^{\prime\prime}
\end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ．
(2)$A,\ B$を(1)で求めた行列とする．このとき，行列$C=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\
-\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5}
\end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$C^n$を求めよ．

座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(4,\ 7)$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a+b
\end{array} \right)$とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f$の逆変換を表す行列を求めよ．
(3)$f$が直線$y=mx$上の任意の点$(c,\ cm)$を再び$y=mx$上に移すとき，$m$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを入れよ．

行列$M$を$M=\left( \begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
1 & -1
\end{array} \right)$で定める．このとき
\[ M=\sqrt{2} \left( \begin{array}{cc}
\cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi & -\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi \\ \\
\sin \frac{[ア]}{[イ]} \pi & \cos \frac{[ア]}{[イ]} \pi
\end{array} \right) \]
である．
次に$\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=M^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおき，点$(a_n,\ b_n)$を$\mathrm{P}_n$で表す．このとき点$\mathrm{P}_n$と原点$\mathrm{O}$との距離は$[ウ]^{\frac{n}{2}}$である．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \theta=\frac{[エ]}{[オ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
$3$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+2}$を頂点とする三角形の面積は$[カ] \times [キ]^{n-1}$である．
ただし
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\
\sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta)
\end{array} \right) \]
となることは使ってよい．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=5$を満たすとき，$x^2+3y+1$の最大値は$[ア]$であり，最小値は$[イ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$が$b+c=1$，$b>c$，$A^2+3A-3E=O$を満たすとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数（$a \neq b$）とする．$2$つの$2$次関数
\[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \]
の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=[ア]$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$[イ]$である．

(2)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=[ウ]$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$の像が，それぞれ，$(-3,\ 5)$，$(-8,\ 12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=[エ]$である．
(3)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$，$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=[カ]$である．
(4)$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=[ク]$のときである．
(5)$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=[ケ]$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=[コ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．