座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点Pが行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．

(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\mat<3,1>[-2,-1,5,4],\quad B=\mat<3,1>[-1,0,0,3],\quad C=\mat<3,1>[1,1,a,b] \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$AC=CB$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ．
(2)$\tvec<3,1>[x_n,y_n]=(A^{-1})^n \tvec<3,1>[1,3]$によって$x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．このとき，$x_n,\ y_n$を$n$の式で表せ．ただし，$A^{-1}$は$A$の逆行列である．
(3)$x_n,\ y_n$は(2)で求めたものとし，Oを原点とする$xy$平面上の点$(x_n,\ y_n)$をP$_n$とする．このとき，${\text{OP}_n}^2>8.3$となるような$n$をすべて求めよ．

次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．

(1)$2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき
\[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \]
が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2)$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3)$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g \circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ． \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」

行列$A,\ B,\ C,\ D$を次のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right),\quad D=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\end{array} \right) \]

(1)行列$A,\ B,\ C,\ D$から2つを選びその積を考える．このような積として得られる行列をすべて求めよ．
(2)(1)で得られた行列のなかで，$n$乗を考えられるものについて，その$n$乗を求めよ．ただし$n$は2以上の自然数とする．
(3)行列$A,\ B,\ C,\ D$の2つ以上の積として得られる$2 \times 3$行列をすべて求めよ．ただし同じ行列を何回使ってもよいものとする．

行列$A,\ B,\ C,\ D$を次のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right),\quad D=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\end{array} \right) \]

(1)行列$A,\ B,\ C,\ D$から2つを選びその積を考える．このような積として得られる行列をすべて求めよ．
(2)(1)で得られた行列のなかで，$n$乗を考えられるものについて，その$n$乗を求めよ．ただし$n$は2以上の自然数とする．
(3)行列$A,\ B,\ C,\ D$の2つ以上の積として得られる$2 \times 3$行列をすべて求めよ．ただし同じ行列を何回使ってもよいものとする．

$x,\ y$は実数で，$x+2y=3$を満たすとする．さらに，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
2 & -1
\end{array} \right)$に対して等式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=-2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が成り立つとする．

(1)$x,\ y$の値を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & x \\
1 & y
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示し，$P^{-1}AP$を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2)次の式を満たす$A$を求めよ．
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\
\displaystyle\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right) \]
(3)$n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について
\[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \]
を求めよ．