$a$を定数とし，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & -a
\end{array} \biggr)$で表される1次変換を$f$とする．直線$\ell_1:x=-1$と円$C_1:(x-1)^2+(y-1)^2=1$を考える．$\ell_1$上の各点は$f$で直線$\ell_2$上に移り，$C_2$上の各点は$f$で2次曲線$C_2$上に移るとする．

(1)$\ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点がただ1点であるとき，$a$の値と共有点の座標を求めよ．

整数$a,\ b,\ c$に対して，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
0 & u
\end{array} \biggr)$に対して，
\[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\
0 & u(u^2-1)
\end{array} \biggr) \]
となることを示せ．
(2)整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc}
6x & y \\
0 & 6z
\end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3)$P=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4)行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．

実数$p$に対して，行列$A,\ B,\ C$をそれぞれ
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1+p
\end{array} \biggr),\quad C=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & p \\
1+p & -1
\end{array} \biggr) \]
とおく．さらに，行列$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ A_1=A, A_{n+1}=A_nB-BA_n+C \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A_2,\ A_3$を求めよ．
(2)$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

実数$a,\ b$に対して，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & 2a \\
1 & 2a-1
\end{array} \right)$が$(A-bE)^2=O$をみたしているとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．

条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．

以下の問いに答えよ．

(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$となる最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^{100}$を求めよ．

$a$を実数とする．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$について，以下の各問に答えよ．

(1)行列$E-A$が逆行列を持つかどうか調べよ．また，逆行列を持つ場合にはそれを求めよ．
(2)$A^n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)．
(3)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^n$とおくとき，$S_n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)．

$2$次正方行列$A$は点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$へ移し，点$(3,\ 3)$を点$(9,\ 12)$へ移す．

(1)$A$を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
a & b
\end{array} \right)$および$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & m
\end{array} \right)$は$AP=PB$を満たす．$P$が逆行列を持つときの$a,\ b,\ m$の値および逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$について，$A^n$を$n$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{C}(1,\ 3)$が$A^n$により移動する点を$\mathrm{C}_n$と表す．$\mathrm{C}_n$は$n$によらない直線$\ell$上の点であることを示せ．また$\ell$の方程式を求めよ．

2次の正方行列$A,\ B$と実数$p$が
\[ A+B=3E,\quad pA-B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-6 & 3
\end{array} \biggr),\quad AB=O \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$(p+1)A=\biggl( \begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-6 & 6
\end{array} \biggr),\ (p+1)B=\biggl( \begin{array}{cc}
3p & 3 \\
6 & 3(p-1)
\end{array} \biggr)$を示せ．
(2)実数$p$の値と行列$A,\ B$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{ccc}
9 & 4 & 8 \\
-8 & -3 & -8 \\
4 & 2 & 5
\end{array} \right)$とし，$E$を3次の単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A^2-10A=-9E$であることを示せ．
(2)$AB=\left( \begin{array}{ccc}
-3 & 4 & -18 \\
5 & -1 & 18 \\
-4 & 1 & -9
\end{array} \right)$を満たす行列$B$を求めよ．