$n$を自然数とする．整数を成分にもつ行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
3 & x \\
y & z
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
は$AB=BA$，$B^2-3B+2E=O$を満たすとする．ただし$x \neq y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a>b>c>d$，$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ．
(2)$B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(3)$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$d=-3$のとき，$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-6 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{array} \right)$について，$AX=XB$，$X^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ．
(2)$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって，$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}>\frac{\pi}{2}$を満たしているものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$として，以下の問いに答えよ．

(i) $\cos \theta$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(ii) 点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし，垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & c
\end{array}
\right)$に
よって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

(1)点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$に移す
(2)点$(1,\ 0)$と点$(0,\ 1)$が$T$によって点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にそれぞれ移るとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle\frac{1}{2}$である

を満たすとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について，以下の$3$つの条件を考える．

$(ⅰ)$ $a+d=ad-bc=0$
$(ⅱ)$ $A^2=O$
$(ⅲ)$ ある自然数$n$に対して$A^n=O$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ならば$(ⅱ)$であることを示せ．
(2)$(ⅲ)$ならば$ad-bc=0$であることを示せ．
(3)$(ⅲ)$ならば$(ⅰ)$であることを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right) \]
の表す1次変換を$f$とする．$f$による点P$(1,\ 1)$の像をP$_1$とする．正の整数$n$に対し，P$_n$の$f$による像をP$_{n+1}$とする．P$_n$が点Q$(10,\ 10)$に最も近くなるときの$n$の値を求めよ．

$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」

この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．

$t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
t & t-1 \\
1-t & 2-t
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(2)$A+A^{-1},\ A-A^{-1},\ (A-A^{-1})^2$を求めよ．
(3)$A^{2n}-tA^n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$n$によらない行列になるという．このときの$t$の値を求めよ．

$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．また，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n,\ b_n$を
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n 
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
0
\end{array} \right) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$P^{-1}$および$B$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す．このとき
\[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を示せ．また
\[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ．