$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$y=x^2-ax+3$の頂点が直線$y=3x+5$上にあるとき，定数$a$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_9\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log_9 \frac{1}{3}-\frac{3}{2}\log_9 \sqrt[3]6$を簡単にせよ．
(3)曲線$y=\sqrt{x-1}$上の点$(2,\ 1)$における接線を$\ell$とする．この曲線と$x$軸および接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$の値を求めよ．ただし，$O$は零行列，$E$は単位行列である．

行列$A,\ B$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-b & -b \\
b & a+b
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
-b & -b \\
b & b
\end{array} \biggr)$によって定める．ただし，$a,\ b$は定数で$b \neq 0$とする．行列$A$および$B$で表される1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．また，点P$(1,\ 2)$の$g$による像をQとし，点Pを通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$である直線を$\ell$とする．ただし，Oは原点を表す．

(1)点Qの$g$による像を求めよ．
(2)点Pの$f$による像Rが直線$\ell$上にあれば，$a=1$であることを示せ．
(3)$a=1$のとき，直線$\ell$上のすべての点は$f$により$\ell$上に移ることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$2$つの行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$と$N=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$が，
\[ M \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) N= \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
をみたすのは，$p,\ q,\ r,\ s$の間にどのような関係が成り立つときか．
(2)行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$が，(1)で求めた関係をみたしているとする．行列$M$の表す$1$次変換による，点$\mathrm{A}(q,\ -p)$の像を点$\mathrm{C}$，点$\mathrm{B}(s,\ -r)$の像を点$\mathrm{D}$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OCD}$の面積を求めよ．

行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$A^6=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる$\theta$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-d & c \\
b & -a
\end{array} \right)$とする．$A^2+A+E=O$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

(1)$a+d$および$ad-bc$の値を求めよ．
(2)$A^3,\ A^6,\ B^3,\ B^6$を求めよ．
(3)$B^{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3a-1 & 9a \\
-a & -3a-1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

各成分が$0$以下の整数からなる$2$行$2$列の行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
で，$A^2+A=E$を満たすものをすべて求めよ．（ただし，$E$は単位行列を表す．）

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -2
\end{array} \right)$が表す$1$次変換を$f$とする．以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ b)$が$1$次変換$f$によって移される点$\mathrm{P}^\prime$の座標を求めよ．
(3)直線$3x-y=2$が$1$次変換$f$によって移される直線を求めよ．
(4)$y=3x$に関する対称移動$g$は$1$次変換であることを示し，$g$を表す行列を求めよ．