$a,\ b,\ c$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
a & -3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
2 & -6
\end{array} \right)$は$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{rr}
3 & b \\
0 & c
\end{array} \right)$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$A$は逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して，$(A+6A^{-1})^n$を求めよ．

行列
\[ P=\left( \begin{array}{cc}
x & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} & y
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$P^2=P$をみたす実数の組$(x,\ y)$は$2$組ある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$つの組を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とし，それぞれに対応する行列$P$を$P_1$，$P_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．このとき，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ (P_1P_2)^nP_1=r_nP_1 \]
をみたす実数$r_n$を求めよ．
(3)重複を許して$P_1$，$P_2$を$6$個並べて得られる順列
\[ Q_1 \quad Q_2 \quad Q_3 \quad Q_4 \quad Q_5 \quad Q_6 \]
のうちで$Q_1=P_1$となるものすべてを考え，それぞれの順列に$6$個の行列の積$P_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6$を対応させる．このようにして得られる行列のうち，異なるものはいくつあるか．

実数$a,\ b,\ c,\ d$について
\[ (a-d)^2+4bc=0 \]
が成立している．このとき行列
\[ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=A-\frac{a+d}{2}E \]
について，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle A \neq \frac{a+d}{2}E$とする．

(1)行列$B^2$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して
\[ A^n=pA+qE \]
となる実数$p,\ q$を$n$と$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)行列$A$が次をみたすとき，$A$を求めよ．
\[ A^5=\left( \begin{array}{cc}
11 & -20 \\
5 & -9
\end{array} \right) \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]

$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$，$ad-bc=1$をみたす実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=-E$を示せ．
(2)$p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3)$\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して
\[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$4P+Q=A$と$P+Q=E$を満たす$2$次正方行列$P,\ Q$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$P,\ Q$に対して，$PQ,\ QP$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)$A^n$の逆行列を$B_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$が$A^2+A+E=O$の関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$A^3$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(3)$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7+A^8+A^9+A^{10}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(4)$A$の逆行列$A^{-1}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．

$x_0=1$，$y_0=0$とする．$n$が自然数のとき，座標平面上の点$\mathrm{P}_{n-1}(x_{n-1},\ y_{n-1})$は行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$に移されるとする．点$\mathrm{P}_{n-1}$と点$\mathrm{P}_n$の距離を$l_n$とする．
（図は省略）

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_n$を$x_{n-1},\ y_{n-1}$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}$の値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$の和を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u}=(p,\ q)$，$\overrightarrow{v}=(r,\ s)$は
\[ |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|=1,\quad A \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\alpha \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right)=\beta \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right) \]
を満たすとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$は直交することを示せ．
(2)行列$X=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$(2)$の$X$に対して，$AX=X \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$となることを示せ．
(4)自然数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
f_n & g_n \\
h_n & k_n
\end{array} \right)$とする．このとき，$f_n+k_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．