実数を成分とする行列
\[ M=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
b & 1-a
\end{array} \right),\quad M^\prime=\left( \begin{array}{cc}
1 & b^\prime \\
b^\prime & 1-a^\prime
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
が$MM^\prime=M^\prime M$，$a \neq 0$，$a^\prime \neq 0$を満たし，$P^{-1}MP$が対角行列であるとする．ここで，対角行列とは$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列である．

(1)$a,\ b,\ a^\prime,\ b^\prime$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)$\tan 2\theta$を$a,\ b$を用いた式で表せ．
(3)$P^{-1}M^\prime P$が対角行列であることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される移動により点$(x,\ y)$が点$(x^\prime,\ y^\prime)$に移るとき
\[ x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2 \]
が常に成り立つとする．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．

(2)行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$に対して
\[ X=-\frac{1}{5}(A-2E),\quad Y=\frac{1}{5}(A+3E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)$XY,\ YX,\ X^2,\ Y^2$を計算せよ．
(2)$A=aX+bY$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$の和は$\displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]}$である．\\
\quad ただし，[ツ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)行列
\[ A=\frac{1}{\sqrt{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \biggr) \]
に対して，
\[ A^n = \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)\]
となる最小の自然数$n$は[テ]である．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(2-x^2\sin x)\,dx = [ト]$である．

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき，
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ．

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

(3)$c$を正の実数として，漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は，$a+d-1=ad-bc$を満たすとする．また，数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し，$\mathrm{O}$は原点とする．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し，$g=ad-bc$とおく．
以下の$[　]$にあてはまるものを，$g,\ n$を用いて表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=([え]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+([お]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である．
(2)$g \neq 1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{[か]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{[き]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$|g|<1$のとき
\[ \begin{array}{l}
\lim_{n \to \infty}x_n=[く]x_1+[け]x_0 \\
\lim_{n \to \infty}y_n=[く]y_1+[け]y_0
\end{array} \]
である．
(4)$0<g<1$とする．点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$[こ]:1$に外分する．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり，
\begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$
\end{itemize}
と順々に$M_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．

(1)$p_1=[ア]$である．
(2)$A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$[イ]$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$[ウ]$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$[エ]$である．
(3)$M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$[オ]$個である．
(4)$n$が偶数のときは$p_n=[カ]$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=[キ]$である．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -2 \\
2 & 8
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．ただし，$P^{-1}$は$P$の逆行列を表す．

(1)$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(2)行列$B$を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，行列$B^n$を$n$を用いて表せ．また，行列$A^n$を$n$を用いて表せ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．