「行列」について
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（14ページ目：全327問中131問～140問を表示）
国立 北海道大学 2012年 第1問$k$は実数，$a,\ b,\ c,\ d$は$ad-bc=1$を満たす実数とする．行列$A=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す移動は以下の$3$条件を満たすとする．\\
\quad (イ)\ 直線$y=x$上の点は直線$y=x$上の点に移る．\\
\quad (ロ)\ 直線$y=-x$上の点は直線$y=-x$上の点に移る．\\
\quad (ハ)\ $x$軸上の点は直線$y=kx$上の点に移る．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$A$を$k$で表せ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す移動は以下の$3$条件を満たすとする．\\
\quad (イ)\ 直線$y=x$上の点は直線$y=x$上の点に移る．\\
\quad (ロ)\ 直線$y=-x$上の点は直線$y=-x$上の点に移る．\\
\quad (ハ)\ $x$軸上の点は直線$y=kx$上の点に移る．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$A$を$k$で表せ．
国立 東京大学 2012年 第6問$2\times2$行列$P=\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \biggr)$に対して
\[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \]
と定める．\\
\quad $a$，$b$，$c$は$a\geqq b>0$，$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする．行列$A$，$B$，$C$，$D$を次で定める．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc}
a^c & 0 \\
0 & b^c
\end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc}
b^{1-c} & 0 \\
0 & a^{1-c}
\end{array} \biggr) \]
また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array} \biggr)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)各実数$t$に対して，$x$の関数
\[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \]
の最大値$m(t)$を求めよ．(ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．)
(2)すべての実数$t$に対し
\[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \]
が成り立つことを示せ．
p & q \\
r & s
\end{array} \biggr)$に対して
\[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \]
と定める．\\
\quad $a$，$b$，$c$は$a\geqq b>0$，$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする．行列$A$，$B$，$C$，$D$を次で定める．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc}
a^c & 0 \\
0 & b^c
\end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc}
b^{1-c} & 0 \\
0 & a^{1-c}
\end{array} \biggr) \]
また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array} \biggr)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)各実数$t$に対して，$x$の関数
\[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \]
の最大値$m(t)$を求めよ．(ただし，最大値をとる$x$を求める必要はない．)
(2)すべての実数$t$に対し
\[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \]
が成り立つことを示せ．
国立 九州大学 2012年 第2問$2$次の正方行列$A,\ B$はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．
(1)行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2)$(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3)行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \]
および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \]
を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．
(1)行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2)$(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3)行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \]
および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \]
を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．
国立 埼玉大学 2012年 第2問行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第2問行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第2問行列$X=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
国立 広島大学 2012年 第1問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．
国立 東京工業大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．