行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$，線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．
(2)$C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個（$n \geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする．点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

$a,\ b,\ c$は$0$でない実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$BAB$は対角行列，かつ，$B^2$は単位行列とするとき，$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
q & r
\end{array} \right)$の成分はすべて実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{5}{8},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{3}$とする．自然数$n$に対して$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
3 \\
4
\end{array} \right)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$を示せ．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

$2$点$(2,\ 1)$，$(1,\ 1)$をそれぞれ$(3,\ -8)$，$(2,\ -5)$に移す$1$次変換を$f$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

$2$次の正方行列について，以下の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

(1)行列$S=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & d
\end{array} \right),\ T=\left( \begin{array}{cc}
e & f \\
g & h
\end{array} \right)$が，$TS=E$を満たすならば，$ST=E$となることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（ただし，$a \neq 0$）に対して，行列$B$は$BA=E$を満たすとする．さらに，$\displaystyle P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\displaystyle\frac{c}{a} & 1
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\displaystyle\frac{c}{a} & 1
\end{array} \right)$を考えて，$M=PA,\ N=BQ$とおく．

(i) $NM=E$を示せ．
(ii) $MN=E$を示し，$AB=E$となることを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．$1$次変換とは，座標平面上の任意の点$(x,\ y)$を同じ平面上の点$(X,\ Y)$に移す変換で，その変換の規則が$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$と表せるものである．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を$1$次変換を表す行列という．次の変換が，$1$次変換であるならばその$1$次変換を表す行列を求め，$1$次変換でないならばその理由を述べよ．

(1)座標平面上の任意の点をそれ自身に移す変換
(2)座標平面上の任意の点を直線$y=-x$に関して対称な点に移す変換
(3)座標平面上の任意の点を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$4$だけ移動する変換

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数として，$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく．このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ．
(2)$n$を自然数とする．このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ．
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は，等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である，とする．いま，ボタンを$5$回続けて押す．このとき，（$\mathrm{XYZYX}$のように）$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ．
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が，円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき，$A$を求めよ．ただし，$A$は単位行列と異なる行列とする．
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．

(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

$m$を実数とする．座標平面上で直線$y=x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f$とし，直線$y=mx$に関する対称移動を表す$1$次変換を$g$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1$次変換$g$を表す行列$A$を求めよ．
(2)合成関数$g \circ f$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$B^3=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$となる$m$をすべて求めよ．