以下の命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげて偽であることを説明しなさい．

(1)$p$を，$4$で割ると$3$余る素数とする．このとき，$2p+1$は$3$の倍数であるか，または素数である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分と，$A$の逆行列$A^{-1}$の成分がすべて整数であるとする．このとき，$|ad-bc|=1$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[　]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[　]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[　]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[　]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[　]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[　]$となる．

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．

$x,\ y,\ z,\ a$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
x & y
\end{array} \right)$について，
\[ B=A+\left( \begin{array}{cc}
-1 & -2 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
で定めた行列$B$が
\[ B^2=A^2+\left( \begin{array}{cc}
-4 & -2 \\
0 & z
\end{array} \right) \]
を満たしている．このとき，$x,\ y,\ z$の値を求めよ．

$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]

$A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & -3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$n$は自然数とする．

(1)$A$の$n$乗$A^n$を求めよ．
(2)行列の積$AA^2A^3 \cdots A^n$を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
4 & -2
\end{array} \right)$が表す移動により，座標平面上の点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が座標平面全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_1$全体の上を動くという．図形$F_1$を表す方程式を求めよ．
(2)$k$を実数とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=kx+1$全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_2$全体の上を動くという．図形$F_2$を求めよ．

$A,\ B,\ P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a_1 & 0 \\
0 & a_2
\end{array} \right)$，$P^{-1}BP=\left( \begin{array}{cc}
b_1 & b_2 \\
b_3 & b_4
\end{array} \right)$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
c & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3)$A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．

$a,\ b$は実数の定数で$|a|<|b|$をみたすとする．行列$A$を
\[ A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
a+2b & -2a+2b \\
-a+b & 2a+b
\end{array} \right) \]
によって定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x_0 \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$x_n \left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ．
(4)数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
13
\end{array} \right)$によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．

$n$を自然数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{array} \right)$について，次の手順で$A^n$を求める．このとき，以下の空欄をうめよ．


(1)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & b
\end{array} \right)$が$P^{-1} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right) P=A$を満たすとき，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．

(2)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)^n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & \displaystyle\frac{n}{2}x_n \\
0 & x_n
\end{array} \right)$と表せる．このとき，$x_n=[ハ]$である．

(3)$A^n=[ニ]$である．