実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1-a & 3 \\
-1 & a
\end{array} \right)$と$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$A^2=xA+yE$が成り立つとき，実数$x$の値を求め，実数$y$を$a$を用いて表せ．
(3)$A^3=-E$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1-a & 3 \\
-1 & a
\end{array} \right)$と$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$A^2=xA+yE$が成り立つとき，実数$x$の値を求め，実数$y$を$a$を用いて表せ．
(3)$A^3=-E$が成り立つとき，$a$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$x$の整式$x^3+3mx^2+2(m^2-1)x-4$が$(x+2)^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=[ア]$であり，商は$[イ]$である．

(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
x+1 & 2 \\
-5 & y-2
\end{array} \right)$がある．$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ウ]$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a$，第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=[オ]$である．この$b$に対して，初項が$1$，第$2$項が$a$，第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=[カ]$である．
(4)曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\ \log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=[キ]$である．また，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$S=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$[ケ]$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,\ 1)$となる確率は$[コ]$である．

$xy$平面において，点$(2,\ 0)$を点$(1,\ \sqrt{3})$へ，点$(1,\ \sqrt{3})$を点$(-1,\ \sqrt{3})$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$A$とする．$\displaystyle B=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とし，$B$が表す$1$次変換を$g$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^3$を求めよ．
(2)$A^6$が表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移る点の座標を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$を表す行列を$C$とするとき，$C^n=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$となる最小の自然数$n$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$を考える．また，$E$を単位行列とする．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) (0 \leqq \theta<2\pi)$と表すと，$\displaystyle \theta=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)$E+A+A^2=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & -\sqrt{[エ]} \\
\sqrt{[オ]} & [カ]
\end{array} \right)$，$A^3=\left( \begin{array}{cc}
[キ][ク] & [ケ] \\
[コ] & [サ][シ]
\end{array} \right)$，$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5=\left( \begin{array}{cc}
[ス] & [セ] \\
[ソ] & [タ]
\end{array} \right)$である．
(3)$E+A+A^2+A^3+\cdots +A^{20}=\left( \begin{array}{cc}
[チ] & -\sqrt{[ツ]} \\
\sqrt{[テ]} & [ト]
\end{array} \right)$である．

行列$A,\ B$を$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
4 & -2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$B^2,\ AB,\ BA$を求めよ．
(2)正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$(A-2B)^n$を求めよ．

$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-3 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a-2 & -1 \\
a^2-2a-4 & 2a-6
\end{array} \right)$に対して，以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ．ただし$E$は$2$次の単位行列を表す．
(2)$(1)$で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha P+\beta Q=A$，$P+Q=E$を満たす行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列の積$P^2,\ Q^2,\ PQ,\ QP$を求めよ．
(4)行列$A$の$n$乗$A^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(5)$a>0$として，行列$C$を$C=A+B$と定めるとき，行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ$1$つしかないという．このような定数$k$および$a$の値を求めよ．
(6)$(5)$で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき，$N^2$を求めよ．
(7)行列$C$の$n$乗$C^n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．