「行列」について
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国立 琉球大学 2013年 第4問$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第7問自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．
国立 群馬大学 2013年 第14問自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．
(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．
国立 山形大学 2013年 第4問自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2013年 第3問実数$a$に対し，行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．
(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．
(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．
国立 九州工業大学 2013年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．
(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ．
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする．実数$s,\ t$に対し，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき，実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)(2)で定めた行列$B$について，$B^n$（ただし，$n$は自然数）を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(4)$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．
(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ．
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする．実数$s,\ t$に対し，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき，実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)(2)で定めた行列$B$について，$B^n$（ただし，$n$は自然数）を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(4)$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
国立 愛媛大学 2013年 第2問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第5問$a,\ b$を$\displaystyle a^2+\frac{b^2}{6}=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 \sqrt{2}a & b \\
-b & -\sqrt{2}a
\end{array} \right)$に対して，以下の問に答えよ．
(1)実数$p,\ q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p,\ q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(-1)^kA^k$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-x \\
0
\end{array} \right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．
2 \sqrt{2}a & b \\
-b & -\sqrt{2}a
\end{array} \right)$に対して，以下の問に答えよ．
(1)実数$p,\ q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p,\ q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(-1)^kA^k$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-x \\
0
\end{array} \right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第1問$S=\left( \begin{array}{cc}
2+3 \cos 2\theta & 3 \sin 2\theta \\
3 \sin 2\theta & 2-3 \cos 2\theta
\end{array} \right)$とする．以下，$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ．
(1)$Q=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とするとき，$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ．
(2)$2 \times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき，$X$は対角行列になることを示せ．
(3)$2 \times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき，$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ．
2+3 \cos 2\theta & 3 \sin 2\theta \\
3 \sin 2\theta & 2-3 \cos 2\theta
\end{array} \right)$とする．以下，$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ．
(1)$Q=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とするとき，$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ．
(2)$2 \times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき，$X$は対角行列になることを示せ．
(3)$2 \times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき，$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ．
国立 愛媛大学 2013年 第4問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．