（旧課程履修者）行列$A,\ E$を$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$a,\ b$を$a^2+b^2 \neq 0$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$X=aA+bE$の逆行列$X^{-1}$を求めよ．
(3)$B^2=-E$を満たす任意の$2$次の正方行列$B$について，$(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tE$となる実数$s,\ t$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$B$に対して$Y=aB+bE$とおくとき，$pB+qE$が$Y$の逆行列$Y^{-1}$と等しくなるような実数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

（選択）行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \]
とする．次の問いに答えよ．

\mon[$(1)$] 行列$A$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_1$に移すとする．$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
\mon[$(2)$] 次の等式が成立する実数$k,\ t$の組をすべて求めよ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
k \\
kt
\end{array} \right) \]
\mon[$(3)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(4)$] 行列$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の表す$1$次変換が点$(2,\ 1)$を点$\mathrm{P}_n$に移すとする．$\mathrm{P}_{2m-1} (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

$a,\ b$を実数，$a>0$として，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され，点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると，
\[ A \left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
v_1 \\
v_2
\end{array} \right) \]
が成り立つ．$c$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする．すべての自然数$n$に対して
\[ A^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c}
w_1 \\
w_2
\end{array} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(4)$(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め，$A^n \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

$1$個のさいころを投げて，出た目が$1$か$2$であれば行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を選ぶ．そして，選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う．点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし，さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$，点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする．

(1)$p_1,\ p_2$と$q_1$，$q_2$を求めよ．
(2)$p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ．また，$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ．
(3)$p_n$を$n$を用いて表せ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．