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小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2014年 第1問
次の$[ ]$の中を適当に補いなさい.

(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき,この操作を複数回行い,元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには,最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある.下図のように,この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と,$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる.$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$(ただし$t>0$)とし,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき,$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$.
(図は省略)
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し,千の位,百の位,十の位,一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする.$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり,$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある.このとき,$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2012年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)自然数$a=[(43)],\ b=[(44)]$は
\[ \frac{31}{99}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{11ab} \]
をみたす.ただし$a<b$とする.
(2)$4$人でプレーするゲームの大会がある.全部で$v$人のプレーヤーがゲームを繰り返し行い,各プレーヤーは他のすべてのプレーヤーと必ず$1$回だけ対戦する.\\
\quad この大会の総ゲーム数を$b$とし,各プレーヤーは$r$回のゲームに参加するとする.たとえば$r=1$のとき,$v=[(45)],\ b=[(46)]$であるが,$r=2,\ 3$のときは条件をみたす大会は成立しない.$r=4$のとき,$v=[(47)][(48)],\ b=[(49)][(50)]$である.
東京医科歯科大学 国立 東京医科歯科大学 2011年 第1問
ある硬貨を投げたとき,表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする.この硬貨を投げる操作を繰り返し行い,3回続けて表が出たときこの操作を終了する.自然数$n$に対し,

操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$

とする.このとき以下の各問いに答えよ.

(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ.
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ.
(3)$n \geqq 5$のとき,$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ.
(4)$n \geqq 4$のとき,$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2011年 第3問
自然数$n$を定数として,さいころを投げる次の競技を行う.この競技は,{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる.競技者は,はじめに{\bf 試行}$1$を行う.
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ,出た目の数を$X$とする.$X$の値に応じて次の手順に従う.
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する.
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば,$7$を得点として競技を終了する.
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば,{\bf 試行}$2$に進む.

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる.
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする.
$X$の値に応じて次の手順に従う.
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する.
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば,$7$を得点として競技を終了する.
そうでないならば,続けてさいころを投げ,(★★)にもどる.

\end{screen}
以下の問いに答えよ.

(1)$n=1$として,{\bf 試行}$1$のみを行う.得点の期待値を求めよ.
(2)$n=4$とする.得点の期待値を求めよ.
(3)$n=30$とする.{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった.このとき,{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して,競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする.どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2011年 第4問
自然数$n$を定数として,さいころを投げる次の競技を行う.この競技は,{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる.競技者は,はじめに{\bf 試行}$1$を行う.
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ,出た目の数を$X$とする.$X$の値に応じて次の手順に従う.
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する.
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば,$7$を得点として競技を終了する.
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば,{\bf 試行}$2$に進む.

\end{screen}
\begin{screen}

\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる.
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする.
$X$の値に応じて次の手順に従う.
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する.
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば,$7$を得点として競技を終了する.
そうでないならば,続けてさいころを投げ,(★★)にもどる.

\end{screen}
以下の問いに答えよ.

(1)$n=1$として,{\bf 試行}$1$のみを行う.得点の期待値を求めよ.
(2)$n=4$とする.得点の期待値を求めよ.
(3)$n=30$とする.{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった.このとき,{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して,競技者は

\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか

どちらか一方を選択できるとする.どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2010年 第2問
$xy$平面上に,原点Oを中心とする半径1の円$C$があり,点Pは円$C$の周上を動く.また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある.いま,点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き,同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く.ただし,点Pは円$C$上で,点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い,点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する.次の問いに答えよ.

(1)点Pが円$C$を一周したとき,点Qの軌跡はどのような図形になるか,図示せよ.
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し,そのグラフの概形を描け.
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「行い」とは・・・

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