$x^2+(5-m)x-2m+7=0$が虚数解をもつように，整数$m$を定めたとき，$m$の最大値を求めよ．

$f(x)=x^4+3x^3-2x^2+3x+1$とする．$f(x)$が$x^2+ax+1$で割り切れるような$a$の値を求めると$a=[　]$であり，$f(x)=0$の虚数解は$x=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2013} \frac{1}{\sum_{j=1}^k j}$を求めよ．
(2)実数$a,\ b$を係数とする$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が異なる$2$つの虚数解をもつ．$1$つの虚数解を$\alpha$とすると，他の解は$2 \alpha-4+3i$と表すことができる．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=\cos 2t,\quad y=\sin t \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の速さは
\[ v=\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \]
である．次の問いに答えよ．

(i) $v^2$を$\cos t$で表せ．
(ii) $v$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を$0$でない実数とする．$x$についての$3$次方程式$x^3-a^3=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin |2x| \, dx$を求めよ．
(3)連続する$3$つの自然数$a,\ b,\ c$があり，それらは$a^2+b^2=c^2,\ a<b<c$をみたすとする．このような$a,\ b,\ c$はただ$1$組しかないことを示せ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2(a-\sqrt{3})x-3 \sqrt{3}a+9=0$が$2$つの異なる実数解をもち，$x^2+ax+1=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$[1]<a<[2]$である．
(2)$\displaystyle 0<x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，$\displaystyle 2-\cos^2 x+\frac{1}{4 \sin^2 x}$の最小値は$[3]$であり，そのときの$x$の値は$[4]$である．
(3)$y=|x-1|-|2x-4|$は$x=[5]$のときに最大値$[6]$をとる．
(4)$4^{200}$は$[7]$桁の整数である．また，$3^{-200}$は小数第$[8]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)袋の中に，$3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5$の$9$つの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，この中から$2$個取り出す．このとき，取り出された$2$個の玉に書かれた数の和が$8$となる確率は$[9]$であり，数の和の期待値は$[10]$である．

方程式$x^2-2x+8=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とし，$\alpha$の虚部は$\beta$の虚部より大きいとする．

(1)$\alpha=[ア]+\sqrt{[イ]}i$，$\beta=[ア]-\sqrt{[イ]}i$である．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{[ウ]+\sqrt{[エ]}i}{[オ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\alpha+2}+\frac{1}{\beta+2}=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

$a,\ b,\ c$は実数とし，
\[ f(x) = x^4+bx^2+cx+2 \]
とおく．さらに$4$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$と$2$つの虚数解をもち，
\[ \alpha+\beta=-(a+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{a} \]
を満たすと仮定する．

(1)$b,\ c$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$2$次関数$y=x^2+x+k$の$-1 \leqq x \leqq 2$における最大値が$8$であるとき，実数$k$の値は$[ア]$であり，そのときの最小値は$[イ]$である．
(2)$\angle \mathrm{O}$が直角の直角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$とするとき，$\mathrm{OC}=[ウ]$であり，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，$\tan A$の値は$[エ]$である．
(3)$3$次方程式$x^3+ax-3a=0$のただひとつの整数解が$x=2$であるとき，$a=[オ]$であり，そのときの虚数解は，$x=[カ]$である．
(4)$x$の$2$次式$f(x)$が，$f(-1)=f(2)=0$と$f(3)=-1$を満たすとき，$f^\prime(-1)=[キ]$であり，$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=[ク]$である．
(5)$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{5}{6} \pi$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{6} \right)-\cos 2\theta$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[　]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[　]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[　]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[　]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[　]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[　]$である．

係数$a,\ b$が整数である$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+1=0$が$2$つの虚数解と$1$つの整数解をもつ．これを満たす整数の組$(a,\ b)$は$[キ]$組あり，そのうち$a$の値が最大となる組は$(a, \ b)=([ク],\ [ケ])$である．