「虚数解」について
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国立 京都大学 2016年 第5問実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し，次の条件を考える．
\mon[（イ）] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である．
\mon[（ロ）] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．
\mon[（イ）] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である．
\mon[（ロ）] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．
私立 明治大学 2016年 第1問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
国立 新潟大学 2015年 第1問整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第1問整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ．
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．
私立 山口東京理科大学 2015年 第7問$a,\ b$が実数であるとする．次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．
国立 京都大学 2014年 第1問$0^\circ \leqq \theta<90^\circ$とする．$x$についての$4$次方程式
\[ \{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\}\{ x^2+2(\tan \theta)x+3\}=0 \]
は虚数解を少なくとも$1$つ持つことを示せ．
\[ \{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\}\{ x^2+2(\tan \theta)x+3\}=0 \]
は虚数解を少なくとも$1$つ持つことを示せ．
国立 宮崎大学 2014年 第4問$t$を定数とする$2$次方程式$\displaystyle z^2-tz+t-\frac{1}{2}=0$について，次の各問に答えよ．ただし，定数$t$は実数とする．
(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(1)この$2$次方程式が実数解をもち，すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ．
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）をもち，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第4問$a,\ b,\ p,\ q$を実数とする．$3$つの$2$次方程式
$x^2+ax+b=0 \cdots\cdots①$
$x^2+px+q=0 \cdots\cdots②$
$2x^2+(a+p)x+b+q=0 \cdots\cdots③$
について，次を証明せよ．
(1)$①$，$②$，$③$がすべて重解をもてば，$a=p$かつ$b=q$である．
(2)$①$，$②$がともに虚数解をもてば，$③$も虚数解をもつ．
$x^2+ax+b=0 \cdots\cdots①$
$x^2+px+q=0 \cdots\cdots②$
$2x^2+(a+p)x+b+q=0 \cdots\cdots③$
について，次を証明せよ．
(1)$①$，$②$，$③$がすべて重解をもてば，$a=p$かつ$b=q$である．
(2)$①$，$②$がともに虚数解をもてば，$③$も虚数解をもつ．
私立 桜美林大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．