タグ「虚数解」の検索結果

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京都大学 国立 京都大学 2016年 第5問
実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し,次の条件を考える.

\mon[(イ)] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し,$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である.
\mon[(ロ)] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ.

この$2$つの条件(イ),(ロ)を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.

$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である.
新潟大学 国立 新潟大学 2015年 第1問
整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく.次の問いに答えよ.

(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ.
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ.
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2015年 第1問
整数$a$に対して$P(x)=x^3-ax^2+ax-1$とおく.次の問いに答えよ.

(1)$P(x)$を$x-1$で割ったときの商を求めよ.
(2)$3$次方程式$P(x)=0$が虚数解をもつような整数$a$の値をすべて求めよ.
(3)$3$次方程式$P(x)=0$のすべての解が整数となるような整数$a$の値をすべて求めよ.
東京都市大学 私立 東京都市大学 2015年 第1問
次の問に答えよ.

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき,方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け.
(2)$a$を実数とする.$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ.
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ.
山口東京理科大学 私立 山口東京理科大学 2015年 第7問
$a,\ b$が実数であるとする.次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が,共通の虚数解をもつとき,その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる.
京都大学 国立 京都大学 2014年 第1問
$0^\circ \leqq \theta<90^\circ$とする.$x$についての$4$次方程式
\[ \{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\}\{ x^2+2(\tan \theta)x+3\}=0 \]
は虚数解を少なくとも$1$つ持つことを示せ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2014年 第4問
$t$を定数とする$2$次方程式$\displaystyle z^2-tz+t-\frac{1}{2}=0$について,次の各問に答えよ.ただし,定数$t$は実数とする.

(1)この$2$次方程式が実数解をもち,すべての解が$-1$以上$1$以下であるような定数$t$の値の範囲を求めよ.
(2)この$2$次方程式が$2$つの共役な虚数解$z=x \pm yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)をもち,$x^2+y^2 \leqq 1$を満たすような定数$t$の値の範囲を求めよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2014年 第4問
$a,\ b,\ p,\ q$を実数とする.$3$つの$2$次方程式

$x^2+ax+b=0 \cdots\cdots①$
$x^2+px+q=0 \cdots\cdots②$
$2x^2+(a+p)x+b+q=0 \cdots\cdots③$

について,次を証明せよ.

(1)$①$,$②$,$③$がすべて重解をもてば,$a=p$かつ$b=q$である.
(2)$①$,$②$がともに虚数解をもてば,$③$も虚数解をもつ.
桜美林大学 私立 桜美林大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し,さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると,$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し,点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった.このとき,$a=[ア]$,$b=[イ]$,$c=[ウ]$である.
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{N}$について,$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり,$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は,$[キ][ク][ケ]$個である.
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で,$\mathrm{A}(4,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする.三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり,三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である.
(4)$x$は実数とし,$t=2^x+2^{-x}$とおくと,$t$の最小値は$[ス]$である.また,$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である.
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという.このとき,実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり,虚数解は$[チ]+[ツ]i$である.ただし,$i$は虚数単位である.
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