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明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適切な数を入れよ.

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 1)$,$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して,
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である.
(2)開発中のある薬品を製造するために,$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が考案された.また,各々の方式で,失敗せず薬品が製造できる確率は,それぞれ,$90 \, \%$,$70 \, \%$,$50 \, \%$である.これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき,少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は,$[ウ][エ].[オ] \%$である.
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき,初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり,一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である.

また,$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.30103$とする.
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし,$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$,$f(2)=31$を満たす.さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$,$x=1$で極値をとるとする.このとき,$a=[ス]$,$b=[セ]$,$c=[ソ]$であり,$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である.
北海道医療大学 私立 北海道医療大学 2013年 第2問
ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある.今,次のような手順を繰り返して行うとする.

\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ,その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる.
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し,その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる.


(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする.$a_1,\ b_1$の値を求めよ.
(2)この手順を$n$回($n \geqq 2$)行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする.$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.また,$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき,$c_n$の値を求めよ.
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき,$d_n$を$n$の式で表せ.
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは,この手順を何回繰り返した後か.
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2012年 第3問
以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ.

(1)互いに異なる$6$個の薬品がある.この$6$個の薬品を$3$つのグループに分けたい.

$1$個,$2$個,$3$個に分ける方法は$[ ]$通りである.
$1$個,$1$個,$4$個に分ける方法は$[ ]$通りである.
$2$個,$2$個,$2$個に分ける方法は$[ ]$通りである.

(2)$2012$を$2$つ以上のいくつかの連続した自然数の和で表したい.連続した自然数を$a,\ a+1,\ a+2,\ \cdots,\ a+n$と表したとき,その和$S$を$a$と$n$で表すと$S=[ ]$である.また,この連続した自然数をすべてあげると$[ ]$である.
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