「色の付いた玉」について
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国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
国立 名古屋大学 2016年 第3問玉が$2$個ずつ入った$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があるとき，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，次に袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる，という操作を$1$回の操作と数えることにする．$\mathrm{A}$に赤玉が$2$個，$\mathrm{B}$に白玉が$2$個入った状態から始め，この操作を$n$回繰り返した後に袋$\mathrm{B}$に入っている赤玉の個数が$k$個である確率を$P_n(k) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_1(k)$を求めよ．
(2)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_n(k)$を求めよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_1(k)$を求めよ．
(2)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_n(k)$を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第3問袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．
\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．
\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．
(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．
国立 鳥取大学 2016年 第2問白玉が$6$個，赤玉が$5$個入った袋がある．以下の問いに答えよ．
(1)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．
(2)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．
(3)袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．
(1)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．
(2)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．
(3)袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．
国立 徳島大学 2016年 第4問赤玉$1$個と白玉$3$個が入っている袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出し，空の袋$\mathrm{B}$に入れた状態を最初の入れ方とする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を順に行うことを$1$回の作業とする．
(i) 袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
(ii) 袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．
最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．
(1)$P_0,\ P_1$を求めよ．
(2)$P_n$を求めよ．
(3)最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．
(i) 袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
(ii) 袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．
最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．
(1)$P_0,\ P_1$を求めよ．
(2)$P_n$を求めよ．
(3)最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2016年 第4問赤球，白球合わせて$2$個以上入っている袋に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．
赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．
(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．
赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．
(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．