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静岡大学 国立 静岡大学 2016年 第4問
ある高等学校の$3$年生は徒歩通学か自転車通学のいずれかである.このなかから調査対象の集団をいろいろと変えて,そのなかから生徒を無作為に$1$人選ぶ.

(i) 対象の集団を$3$年生全体とするとき,その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり,男子生徒である確率は$b$である.
(ii) 対象の集団を男子生徒とするとき,その生徒が徒歩通学である確率は$c$である.

$a,\ b,\ c$を正の数とするとき,次の各問に答えよ.

(1)対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき,その生徒が男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(2)対象の集団を$3$年生全体とするとき,その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3)$3$年生全体が$100$人で,自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする.$a=c$であるとき,$a$の値をすべて求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
立教大学 私立 立教大学 2013年 第1問
次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ.また空欄$[ウ]$~$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)ある自然数$n$について,命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$,対偶は$[イ]$である.
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である.
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき,$\theta=[カ]$である.ただし,$0 \leqq \theta<\pi$とする.
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である.
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である.
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した.スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き,その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ,平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった.このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である.
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく,なす角が${60}^\circ$のとき,$x$の値は$[コ]$,$[サ]$である.
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと,$[シ]$となる.
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