次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

座標平面上の放物線$C:y=-x^2+2ax-a^2+a+1$を考える．$a$が実数の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2)$\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．

(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$について，$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい．
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$504$の正の約数はいくつあるか求めよ．$1$と$504$自身も正の約数であることに注意せよ．
(2)$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$，最小公倍数を$l$とする．$504$の正の約数の個数を$n$としたとき，$g$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{n}{3}$，$l$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{9}{2}n$であった．$x$の素因数が$2,\ 3,\ 5,\ 7$であるとき，$g,\ l,\ x$の値を求めよ．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．