自然数$1200$について，次の設問に答えよ．

(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．

自然数$1200$について，次の設問に答えよ．

(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．

座標平面上の直線$\ell$を$y=2x$，直線$m$を$\displaystyle y=-\frac{x}{2}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点P$(x,\ y)$に対し，Pを通り$\ell$に垂直な直線と$\ell$との交点をQ$(x^\prime, y^\prime)$とする．また，Pを通り$m$に垂直な直線と$m$との交点をR$(x^{\prime\prime},\ y^{\prime\prime})$とする．このとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
x^{\prime\prime} \\
y^{\prime\prime}
\end{array} \right) =B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つような行列$A,\ B$を求めよ．
(2)$A,\ B$を(1)で求めた行列とする．このとき，行列$C=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{14}{5} & -\displaystyle\frac{2}{5} \\ \\
-\displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{11}{5}
\end{array} \right)$に対して$C=\alpha A+\beta B$をみたす実数$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$C^n$を求めよ．

公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．

次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

平面上の点$(x,\ y)$で，$\displaystyle \left( \frac{x}{3} \right)^{2n}+\left( \frac{y}{2} \right)^{2n}<1$を満たすような自然数$n$が存在するための必要十分条件は，$[ヌ]<x<[ネ]$かつ$[ノ]<y<[ハ]$である．

$a_1=a_2=1$である数列$\{a_n\}$は，すべての自然数$n$に対して$a_n \neq 0$であり，かつ$x$の$2$次方程式$a_nx^2-2a_{n+1}x+5a_{n+2}=0$が重解をもつ．$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_n$と$b_{n+1}$との関係式を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項$200$，公差$d$の等差数列であり，$\{a_n\}$の第$15$項から第$20$項までの和が$309$であるとする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)$d$の値を求めよ．
(2)$a_n<0$となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，$S_n$の最大値を求めよ．
(3)$b_n=S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定義される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

自然数$n,\ k$について，$xy$平面上で$0 \leqq y \leqq x$と$y \leqq 2n+k-x$で定まる領域を$C_k$とする．ある整数$a,\ b$に対して，$(a,\ b)$，$(a+k,\ b)$，$(a,\ b+k)$，$(a+k,\ b+k)$を頂点にもつ正方形を$1$辺が$k$の格子点の正方形と呼ぶ事にする．$C_k$に入る格子点の正方形を考える（$C_k$の境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき，$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための，最大の$k$をもとめよ．
(2)$1$辺が$k$の格子点の正方形が，$C_k$内に存在するための$k$の条件を，$n$であらわせ．
(3)$C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき，$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ．
(4)$a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．