以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g \circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ． \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」

方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．

(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．

行列$A,\ B,\ C,\ D$を次のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right),\quad D=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\end{array} \right) \]

(1)行列$A,\ B,\ C,\ D$から2つを選びその積を考える．このような積として得られる行列をすべて求めよ．
(2)(1)で得られた行列のなかで，$n$乗を考えられるものについて，その$n$乗を求めよ．ただし$n$は2以上の自然数とする．
(3)行列$A,\ B,\ C,\ D$の2つ以上の積として得られる$2 \times 3$行列をすべて求めよ．ただし同じ行列を何回使ってもよいものとする．

数列$\{a_n\}$を，2でも3でも5でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする．すなわち，$a_1=1,\ a_2=7,\ \cdots$である．このとき，

(1)第10項$a_{10}$を求めよ．
(2)第500項$a_{500}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$8k$項までの和を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

数列$\{a_n\}$を，$2$でも$3$でも$5$でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする．すなわち，$a_1=1,\ a_2=7,\ \cdots$である．このとき，

(1)第$10$項$a_{10}$を求めよ．
(2)第$500$項$a_{500}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$8k$項までの和を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

行列$A,\ B,\ C,\ D$を次のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 3
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right),\quad D=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3
\end{array} \right) \]

(1)行列$A,\ B,\ C,\ D$から2つを選びその積を考える．このような積として得られる行列をすべて求めよ．
(2)(1)で得られた行列のなかで，$n$乗を考えられるものについて，その$n$乗を求めよ．ただし$n$は2以上の自然数とする．
(3)行列$A,\ B,\ C,\ D$の2つ以上の積として得られる$2 \times 3$行列をすべて求めよ．ただし同じ行列を何回使ってもよいものとする．

有理数$r$について，次の2つの条件を考える．

$(ⅰ)$ 1，3，7のいずれかの数$p$と自然数$m$を用いて$\displaystyle r=\frac{p}{2^m}$と表される．
$(ⅱ)$ $r<1$

条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をともに満たすような有理数$r$の全体を大きい方から順に並べてできる数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$を考える．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$N$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$3N$項までの和$T_N$を$N$を用いて表せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{N \to \infty}T_N$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x \left( 0 \leqq x <\frac{\pi}{2} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で，$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする．

\mon[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\mon[(b)] $g(x)$の増加，減少を調べよ．
\mon[(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ．

(2)$n$を自然数とし，$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする．次の極限を求めよ．

\mon[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$
\mon[(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$

$n$を2以上の自然数とする．平面上に距離が1である2点O，P$_0$がある．中心がOで半径1の円周上に点P$_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を反時計回りに$\displaystyle \angle \text{P}_k \text{OP}_0=\frac{k\pi}{n}$となるようにとる．三角形P$_k$OP$_{k-1}$の面積を$T_k$と表し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n T_k$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_2$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)$e_k$を線分P$_{k-1}$P$_k$の長さとおいて，$\displaystyle E_n=\sum_{k=1}^n e_k$とする．このとき，
\[ S_n=\frac{1}{2}E_n \sin \frac{(n-1) \pi}{2n} \]
を示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\theta$を$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．
(2)$\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない．
(3)(2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ．