$2$次正方行列$A$は点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$へ移し，点$(3,\ 3)$を点$(9,\ 12)$へ移す．

(1)$A$を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
a & b
\end{array} \right)$および$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & m
\end{array} \right)$は$AP=PB$を満たす．$P$が逆行列を持つときの$a,\ b,\ m$の値および逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$について，$A^n$を$n$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{C}(1,\ 3)$が$A^n$により移動する点を$\mathrm{C}_n$と表す．$\mathrm{C}_n$は$n$によらない直線$\ell$上の点であることを示せ．また$\ell$の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，方程式$6 \sin^2 x+5 \cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)座標空間に4点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$，D$(1,\ 1,\ -9)$がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．

2次の正方行列$A,\ B$と実数$p$が
\[ A+B=3E,\quad pA-B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-6 & 3
\end{array} \biggr),\quad AB=O \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$(p+1)A=\biggl( \begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-6 & 6
\end{array} \biggr),\ (p+1)B=\biggl( \begin{array}{cc}
3p & 3 \\
6 & 3(p-1)
\end{array} \biggr)$を示せ．
(2)実数$p$の値と行列$A,\ B$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に2点A$(4,\ 2)$，B$(5,\ 0)$がある．AをP$_0$とし，P$_0$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_1$，P$_1$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，P$_{2n}$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_{2n+1}$，P$_{2n+1}$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．

数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに2または負の向きに1移動するとき，$p_6$を求めよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{27}{10}\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{\displaystyle \left( \frac{43}{2}-b_n \right)^2}+\frac{y^2}{\displaystyle \left( \frac{81}{10}+b_n \right)^2}=1$の面積を$S_n$で表すとき．$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．

自然数$n$について，$a_n$を$\sqrt{n}$以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)自然数$m$について，$S=a_1+a_2+\cdots +a_{m^2}$を，$m$を用いて表せ．

自然数$n$について，$a_n$を$\sqrt{n}$以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)自然数$m$について，$S=a_1+a_2+\cdots +a_{m^2}$を，$m$を用いて表せ．

次の問に答えよ．

(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．