「自然数」について
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国立 琉球大学 2011年 第3問1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数の最大公約数を$X$とする．ただし，$n$は2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)$X=3$となる確率と$X=4$となる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$X=2$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$X$の期待値を$n$を用いて表せ．
(1)$X=3$となる確率と$X=4$となる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$X=2$となる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$X$の期待値を$n$を用いて表せ．
国立 琉球大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
国立 福岡教育大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．
(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．
(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．
(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第4問$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
\img{385_2485_2011_1}{60}
(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．
半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\
る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\
接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．
\img{385_2485_2011_1}{60}
(1)$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2)半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．
国立 福島大学 2011年 第3問以下の問いに答えなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
国立 帯広畜産大学 2011年 第1問自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
国立 群馬大学 2011年 第5問自然数$k$に対し，$\displaystyle a_k=\frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}$で与えられる数列を考える．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表す．
(2)数列$\{a_k\}$から$b_1=a_1,\ b_2=a_2+a_3+a_4,\ b_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9,\ \cdots$のように，奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k \geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第1問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$について，次の問いに答えよ．
(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$となる最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^{100}$を求めよ．
0 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$について，次の問いに答えよ．
(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$となる最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$A+A^2+A^3+\cdots +A^{100}$を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第2問数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．
(3)動点Aが1秒ごとに正の向きに3または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．
(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．
(3)動点Aが1秒ごとに正の向きに3または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．