$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_2 3 = \frac{m}{n}$を満たす自然数$m,\ n$は存在しないことを証明せよ．
(2)$p,\ q$を異なる自然数とするとき，$p \log_2 3$と$q \log_2 3$の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3)$\log_2 3$の値の小数第1位を求めよ．

自然数$a,\ b$に対して，$a = bq+r,\ 0 \leqq r \leqq b-1$を満たす整数$q,\ r$がただ1組存在する．このとき$q$は$a$を$b$で割った商，$r$は$a$を$b$で割った余りという．自然数$a_0,\ a_1$が与えられたとき，数列$\{a_n\},\ \{q_n\}$は次の性質を満たすものとする．

\mon[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商
\mon[(ii)] $\biggl( \begin{array}{c}
a_n \\
a_{n+1}
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -q_n
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
a_{n-1} \\
a_{n}
\end{array} \biggr)$

ただし，$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば，$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ．
(2)$a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ．
(3)$a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_2 3 = \frac{m}{n}$を満たす自然数$m,\ n$は存在しないことを証明せよ．
(2)$p,\ q$を異なる自然数とするとき，$p \log_2 3$と$q \log_2 3$の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3)$\log_2 3$の値の小数第1位を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．

数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$は
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n}{1-a_n^2},\quad n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$とするとき，$a_{10}$および$a_{11}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a_1 = \tan \frac{\pi}{7}$とする．$a_k = a_1$をみたす$2$以上の自然数$k$で最小のものを求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \; \cos nx \; dx$\quad ただし，$m,\ n$は自然数である．
(2)$\displaystyle \int_1^3 \left(x-\frac{1}{x} \right) (\log x)^2 \, dx$

$n$を自然数とし，
\[ S_n = \int_{(n-1)\pi}^{n \pi} e^{-x} (| \sin x |+1) \; dx \]
とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$e^{-x}(\sin x+ \cos x)$を微分せよ．
(2)$S_n$および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．